By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

Show description

Read or Download Angewandte Mathematik. Integrale und Geometrie in Rn PDF

Best mathematics books

Noncommutative structures in mathematics and physics : proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Noncommutative Structures in Mathematics and Physics, Kiev, Ukraine, September 24-28, 2000 00

Preface. Gauge Theories past Gauge concept; J. Wess. Symmetries Wider Than Supersymmetry; D. Leites, V. Serganova. Tensions in Supergravity Braneworlds; ok. Stelle. An Unconventional Supergravity; P. Grozman, D. Leites. Supersymmetry of RS Bulk and Brane; E. Bergshoeff, et al. D-Branes and Vacuum Periodicity; D.

Additional resources for Angewandte Mathematik. Integrale und Geometrie in Rn

Example text

Ein, wobei f¨ ur n ≥ 1 d kn (y) = kn−1 (y) dy gilt und erhalten so x x ¯ x (x − y)n−1 (n) u (y) dy = (−1)n−1 kn−1 (y)u(n) (y) dy (n − 1)! x ¯ x d kn (y)u(n) (y) dy = (−1)n−1 dy x ¯ n−1 = [(−1)n−1 kn (y)u(n) (y)]y=x y=¯ x − (−1) = x) u(n) (¯ (x − x ¯)n + n! x x ¯ x x ¯ kn (y)u(n+1) (y) dy (x − y)n (n+1) u (y) dy. n! Damit ist der Satz von Taylor bewiesen. 9. Wir berechnen die Taylor-Entwicklung f¨ ur f (x) = zur 4. Ordnung nahe bei x = 0: 1 1−x 1 (1 − x)2 2 (1 − x)3 6 (1 − x)4 24 (1 − x)5 f (x) = f (x) = f f f (x) (x) (x) = = = =⇒ f (0) = 1, =⇒ f (0) = 1, =⇒ f (0) = 2, =⇒ f (0) = 6, =⇒ f (0) = 24 1 1−x bis 494 28.

Somit liefert der Satz von Taylor eine Polonymialn¨aherung Pn (x) vom Grade n f¨ ur eine gegebene Funktion u(x), so dass die Ableitungen bis Ordnung n von Pn (x) und u(x) im Punkt x = x ¯u ¨bereinstimmen. Der Beweis des Satzes von Taylor ist eine wunderbare Anwendung der partiellen Integration, die von Taylor entdeckt wurde. Wir beginnen damit, dass der Satz von Taylor f¨ ur n = 0 dem Fundamentalsatz entspricht: x u(x) = u(¯ x) + u (y) dy. 15 Satz von Taylor Mit Hilfe von d dy (y 493 − x) = 1 erhalten wir durch partielle Integration: x u(x) = u(¯ x) + u (y) dy x ¯ x = u(¯ x) + x ¯ d (y − x)u (y) dy dy = u(¯ x) + [(y − x)u (y)]y=x y=¯ x− x x ¯ (y − x)u (y) dy x = u(¯ x) + (x − x ¯)u (¯ x) + x ¯ (x − y)u (y) dy, was dem Satz von Taylor f¨ ur n = 1 entspricht.

Wir halten fest, dass v (x) = −nx−(n+1) f¨ ur v(x) = x−n mit n = 1, 2, 3, . , falls x = 0. Daher lautet die Stammfunktion von f (x) = xm f¨ ur m = −2, −3, . . offensichtlich u(x) = xm+1 /(m + 1) f¨ ur x > 0. Wir k¨onnen diese Tatsache folgendermaßen schreiben: F¨ ur m = −2, −3, . . 6) wobei wir die Integration willk¨ urlich bei x = 1 beginnen. Der Anfangspunkt ist wirklich uninteressant, so lange wir 0 vermeiden. Wir m¨ ussen 0 vermeiden, da die Funktion xm f¨ ur m = −2, −3, . . gegen Unendlich strebt, falls x sich an Null ann¨ ahert.

Download PDF sample

Rated 4.64 of 5 – based on 49 votes