By Dr. phil. Günter Simm, Dr. rer. nat. Heinz H. Gonska (auth.)

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A) . m + a . b, ql . q2 . m + ql . b + q2 . a E Z die Aussage X . Y - a . b und damit die Vertragiichkeit von ~ mit '. 16 schreibt man auch a == b(m) und liest "a kongruent b modulo m", wobei definiert wird a == b(m) = V a =q . m + b mit a, b E No. 18 Beispiel Sei (G, D) ein Gruppoid, das durch die Tafelll festgelegt ist. Tafel 11 0 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 4 1 2 4 1 2 3 a) Betrachten wir die Klasseneinteilung, die durch 3 (G) = {KJ, K3 } mit Kl ={l, 2}, K3 = {3, 4} gegeben ist, so erweist sie sich als n i c h t vertraglich mit D.

6 Auf M = N x N sei durch (a, b) $ (c, d) = (a + c, b + d) eine innere Verkniipfung definiert. 5 erkllirte Aquivalenzrelation mit der Verkniipfung vertraglich ist. 7 Es seif: A -- Beine Abbildung. Beweisen Sie, eine Aquivalenzrelation auf A erkliirt ist. 3 Homomorphismen von Gruppen 1m vorigen Abschnitt haben wir Beziehungen zwischen homomorphen Abbildungen von Gruppoiden und Partitionen untersucht. age tiber die Existenz von Homomorphismen zwischen Gruppoiden zu beweisen. Durch diesen Satz wurde eine Beziehung zwischen der Existenz homomorpher Abbildungen und der Existenz vertrliglicher Partitionen spezieller Art hergestellt.

Dann folgt: gk = gQ ~ k = Q. Das bedeutet aber im Widerspruch zur Endlichkeit von G und damit von V: V ist eine unendliche Menge. Also mu~ gelten: Es gibt ein m E Z\ {O} mit gm = e. Wegen (gm)-l = g-m gilt dann g-m = e. DeshaIb gibt es ein p > 0, p E Z, mit gP = e. 48 Satz 1st (G, 0) eine endliche Gruppe der Ordnung n und ist a ein Element aus G, so ist die Ordnung von a ein Teiler von n. 49 Beispiel Wir betrachten (R6' EEl) und bezeichnen mit a die Klasse aller m E No, ftir die gilt: m ;: a(6) (Tafel 14).

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